统计及模型在地质工程中的应用
吴继敏
高正夏 （河海大学土木工程学院 南京 210098）1 问题的提出
长期以来，地质工程师在认识自然界复杂地质现象过程中，一方面通过野外地质勘测或少量室内实验，获得原始资料；另一方面，根据原始资料及地质学的基本原理来评价工程地质条件，结合工程或区域特点，分析可能存在的地质工程问题或研究地质现象的规律。但是，通常的野外地质勘测只能探明少量的地表地质现象，如通过基岩的露头、探槽、平硐及钻孔等；只能探明极少范围内的地质现象，绝大多数地质现象仍然是不可能探明的。例如，在岩体稳定性评价（包括隧洞、地基、边坡稳定等）时，必须要进行岩体结构面（岩体中的连续软弱面）的调查，这些调查只能局限在基岩的露头、少数探槽和平硐中，不可能调查整个岩体的结构面特征。那么存在这样一个问题，地质工程师调查得到的少数岩体结构面样本能否反映岩体的结构面总体特征。这就需要应用统计理论及模型理论和地质现象的规律，通过调查到的少数结构面特征进行统计分析，找出其分布模型并经假设检验，用模型的参数来替代实测的参数，从而揭露总体特征，进而定量分析工程条件并解决地质问题。
2 统计方法的应用
从地质工程上看，统计理论中的平均指标是用来表明一定范围内地质单元所具有的一般水平的综合指标。它的数值表现为平均值，反映了实测地质参数的集中趋势。忽略了总体各单元某种标志值之间的差异，其中各个标志值的偶然性波动相互抵消。平均指标是通过科学的抽象而得到统计单元的代表值和特征值。
在地质工程领域，统计理论应用主要体现在以下几个方面：
2.1 平均值
平均值在地质工程领域的应用最为广泛。工程地质人员通过大量地质测绘、勘探（钻探、洞探、槽探等）、物探、试验、长期观测等，揭露了诸多的地质现象，获得了大量的资料。这些资料通过分析、整理和统计后，扣除一定的安全储备，绝大多数以平均值的形式提供给工程设计人员。如岩体结构面的产状、间距、连通性，岩体或岩石的物理力学指标等。长期以来，为了某一参数的选择，工程地质人员和工程设计人员经常通过多次反复讨论，并经室内和现场多次核定才能确定下来。这是因为有些参数的选择，直接影响着工程的投资。因此，测试样本的代表性，测试手段的先进性，以及统计理论的合理性，是工程地质人员和工程设计人员长期关注的对象。
2.2 回归分析
回归分析在地质工程领域的应用也相当广泛。有许多地质现象相互之间是有关系的，许多参数是反映同一问题的数个方面。这样的例子很多，如岩体的风化带可以分成全风化带、强风化带、弱风化带和微风化带，每一个风化带中的物理力学指标也有很多，均从各个侧面反映了不同风化带的特征，这些参数在不同风化带的变化与风化带有着良好的线性相关关系。
又如，在评价二组节理岩体地下洞室楔形体超挖过程中[1]，二组结构面的产状分别为：D1Q、D1J、D1D、D2Q、D2J和D2D。每一次随机选择结构面的几何参数（在一定置信水平的置信区间内）以及其它参数，都可以计算得到最大楔形体体积；重复随机选择在其置信区间内任一结构面几何参数足够次后，对最大楔形体体积和结构面的产状因素之间进行回归分析，得到的数学模型为：
在这一线性回归分析中，得到的复相关系数为0.9993，F检验值为3516.99。根据F检验理论，自由度分别为6和30，显著性水平取0.001的话，F的临界值为5.12，远小于其计算值，说明回归分析显著性很好。又根据统计理论，计算标准回归系数的绝对值，评价各个结构面几何参数对最大楔形体体积影响程度。结果表明，第二组结构面的间距（D2J）对楔形体体积影响程度最大，其倾向（D2Q）的影响程度次之，第一组结构面的倾向（D1Q）对楔形体体积影响程度再次之，其他因素对楔形体体积影响程度较小。
2.3 聚类分析
在地质工程方面，建筑物的不同基础需要不同的设计方案和不同的处理措施。建筑物的基础特征判别需要考虑许多物理力学指标，进行优劣类别的划分，这就需要应用聚类分析方法。根据所考虑的指标，将同一类基础地基划分到同一类别中，为工程基础的设计和处理提供依据。
2.4 其它参数
其它统计参数在地质领域也有一定的应用。如利用变异指标来评价一些参数的离散特征。又如确定某花岗岩中黑云母矿的粒径分布模型后，可以评价模型的一些特征参数[2]，包括四分位值和四分位值间距（见表1）。特征参数分析揭示了黑云母矿物在其构成的法国GU
éRET花岗岩中，具有明显的各向异性特征。
参数 |
系 列 |
第一四分位值 | 第二四分位值 |
第三四分位值 |
四分位值间距 |
N |
{A} {B} {C} |
0.61 0.56 0.56 |
1.15 1.26 1.25 |
2.76 2.36 2.34 |
2.15 1.79 1.78 |
Atot |
{A} {B} {C} |
2.37 1.70 1.59 |
3.89 2.89 2.73 |
5.75 4.39 4.19 |
3.39 2.69 2.60 |
表1 粒径分布模型的特征参数
3 分布模型的应用
« 数学手册» [3]中的常用分布函数，有的统计应用学家也称为确定性模型，在地质工程科学中的应用十分广泛，对于地质工程参数的取值起到决定性的作用，也是地质工程领域一个十分重要的发展方向，以下列举几种常用模型的应用。
3.1 泊松 (Poissin)分布
泊松分布属于常用离散型分布，分布中仅有一个参数，其特征是数学期望值和方差相等。因此，在已知一组实数分布时，应用逐步逼近的方法，总能找到泊松分布的理论模型，使得理论分布和实际分布之间的平方和最小。
法国GU
éRET花岗岩中黑云母矿物的空间分布特征[4]，可以应用其二值图像，自编程序计算该矿物的重心位置，忽略其相对大小，自编程序取任意网格并统计其中的重心位置数，从而构成一组分布；通过5次随机计算7幅图像，黑云母矿物的空间分布特征见表2。
| 黑云母（总粒子数：512） | |
| 网格总数（边长：2.260 mm） 网格内重心点总数 网格内最多重心点 c 2检验值 c 2临界值（a =0.01） |
243 251 264 257 247 87 88 92 88 87 7 7 6 7 7 2.80 7.06 2.66 2.95 4.05 13.28（自由度均为4） |
表2 黑云母矿物的空间分布评价与检验
利用统计理论中的检验准则，比较c 2检验值与临界值（a =0.01），从表2中可以看出，黑云母矿物的空间分布特征服从泊松分布，并具有很好的一致性；这是因为黑云母在花岗岩中首先结晶，具有足够的自由空间，服从随机分布。
3.2 正态(Normal)分布
正态分布曲线是一条向正、反两个方向无限延伸的对称曲线。正态分布是连续型随机变量最重要最常用的分布之一，这是因为在现实社会中，大量客观现象服从或近似服从正态分布。根据概率论的中心极限定理，当总体是正态分布的，则不论样本容量大小，样本均值都服从正态分布；当总体不服从正态分布时，只有样本容量足够大，样本均值的分布也趋于正态分布。
|
某大型电站地质结构面的参数取值,直接影响到坝肩和洞室的稳定[5]。通过现场充分地质调查，应用EXCEL计算程序，对结构面的产状进行统计分析，得到其平均值和均方差；然后根据其分布特征，研究它们的模型（通过比较及检验），得到了其分布服从正态分布（见图1），从而可以确定其分布模型的数学期望值和方差；最后确定的模型参数是具有一定置信水平的置信区间。在稳定性评价时，计算参数的取值是在具有一定置信水平的置信区间内随机选取的。如例，结构面节理2倾角的置信区间为：74.0° ~74.7° 。
3.3 伽马(Gamma)分布
无论是在松散沉积物地区，还是在基岩地区水资源研究中，降雨入渗补给系数都是一个重要的计算参数。对降雨入渗补给系数（a 0）的研究，我们认为[6],a 0是一个受多种因素影响的随机变量，其变化规律只能根据大量的地下水动态观测资料分析得出某种统计规律，即确定性模型，从而可以将模型的参数特征应用于实际地下水资源计算评价中。
对于一个确定的自变量D 0（地下水埋深），具有若干个因变量a 0。因此，在建立a 0的分布模型时，首先将埋深等间距分成若干组，然后将每组埋深范围内的a 0取均值，再以这一组数据为基础，确定其频率分布。结合山西原平的实际观测资料讨论a 0的分布特征。
对于某一雨量段的实际资料，α和β的计算结果分布为：2.0991和0.2026，所以有：a
= 0.0335, b = 1.0991, c = 0.2026，得到的模型为：
。
比较实际值和模型值，即检验模型的可信度；这里选用k_s检验，k_s检验的实际值0.0670, 而理论值 k-s(1,15)(a =0.05)是0.304，说明模型是可以接受的。
3.4 威布尔 (Weibull)分布
威布尔分布的累计频率的分布可以用负指数类型的模型来拟合，即威布尔模型的累计形式： 
式中，B为粒径参数，a与b为待定的参数，可以通过线性回归分析得到，即：
在某花岗岩中各种矿物的粒径分析中[4]，黑云母和长石的粒径分析服从威布尔分布，线性回归分析的相关系数大于等于0.9880；比较c 2的计算值和临界值，说明实际分布与模型有很好的一致性。
4 结论
地质科学是研究自然界复杂的地质现象的一个古老学科，由于自然界存在诸多十分复杂的地质现象，传统的定性分析方法已不能满足人类和社会发展的需要，而定量分析方法是该领域长期以来关注的焦点。本文就目前的研究成果说明统计及模型在地质科学中的应用具有很广阔的前景，特别是常用分布函数的应用，更能说明利用分布模型来研究地质参数，一方面能揭示地质现象的总体特征；另一方面在由模型确定的具有一定置信水平的置信区间内随机取值进行定量评价地质现象在理论上是有依据的。
主要参考文献
本文系Email投稿,收稿日期:1998.10.5,Email:jwu@hhu.edu.cn
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